Le problème de la brachistochrone est une ancienne question visant à déterminer la trajectoire de descente la plus rapide entre deux points pour un objet glissant sans frottement sous l'effet de la gravité. Explorez comment des billes, initialement au repos, glissent le long de différentes trajectoires (cycloïde, parabole, etc.). Le segment droit est le chemin le plus court : coïncide-t-il au moindre temps de parcours ? Ajustez les paramètres pour découvrir la réponse... et lancez la course de billes 😉 ! (Plus d'explications sous le graphique.)
La cycloïde est une courbe pouvant être décrite par un point sur un cercle roulant sur une ligne droite. Elle est aussi la solution au problème de la brachistochrone, qui consiste à déterminer la trajectoire donnant le temps de descente le plus rapide d'un objet glissant sans frottement entre deux points, étant seulement soumis à un champ gravitationel. Un grand nombre de scientifiques célèbres ont étudié ce problème: Galilée, Newton, Leibniz, Huyghens, Bernoulli, L'Hospital... Ici c'est une alternative numérique, virtuelle, qui vous est proposée, afin de comparer le temps de parcours d'une bille glissant le long de différents chemins reliant le point de départ à celui d'arrivée: le trajet le plus direct, la portion d'une ellipse optimisée par un algorithme, la partie d'une parabole également optimisée pour minimiser le temps de descente, et section de la cycloide reliant ces deux points. Notez que selon les paramètres définissant la cycloide, la bille peut être amenée à descendre plus bas que le point d'arrivée, générant une accélération durant un temps allongé! Pour gagner la course, il est nécessaire d'avoir l'accélération maximale (due à la gravitation) dès le départ, ce que permet précisément la cycloïde. Vous pouvez aussi étudier ces variations temporelles en sélectionnant le lieu de l'expérience virtuelle: sur Terre, sur la Lune ou sur Mars! Si vous sélectionnez "Brachistochrone discrète", l'applet calculera les coordonnées des extrémités des segments, selon leur nombre choisi, de manière à ce que chaque segment ait un temps de glissement identique. Observez ainsi comment la brachistochrone discrète se superpose progressivement à la cycloïde à mesure que le nombre de segments augmente! Du point de vue mathématique, la cycloïde créée par un cercle de rayon R roulant sans glissement sur l'axe horizontal (x) est représentée par les équations paramétriques: x(θ)=R×(θ-sinθ) et y(θ)=R×(1-cosθ). L'applet vous permet d'ajuster R et θ. Lancez la course et... bon amusement!